del cuarto punto

Hola a todos,

espero que vayan bien con el cuarto punto del examen. Aquí va una pista:

1. Demuestre que si todos los modelos de T son infinitos, y todo par de modelos contables M y N de T tienen extensiones elementales isomorfas, entonces T es completa.
2. Todo modelo contable tiene una extensión en la cual F tiene grado de trascendencia ω y el modelo completo tiene grado de trascendencia ω sobre F.
3. Si dos modelos y son como los que encontró en la parte (2) arriba, y ambos son contables, entonces son isomorfos.
4. Use lo anterior para ver que puede aplicar el criterio en (1) arriba.

Suerte con este punto.

Clase de mañana

Mañana me gustaría que alguno de ustedes exponga 6.2 (las dos partes) y alguien exponga 6.9 (minimalidad fuerte de ACF). Por otro lado, revise el post anterior – hay otras exposiciones por preparar.

Aclaración, etc.

Varias cosas:

1. Aunque lo que hicimos hoy para verificar (de una segunda manera) la eliminación de cuantificadores de T_ord = DLO era correcto (con los cortes de Dedekind, etc.), el argumento es mucho más directo si sencillamente se toma una estructura finitamente generada. No es necesario entonces considerar todos los casos vistos.
2. Preparen para iniciar la clase la completez de T_ord = DLO. Está en 5.8.
3. Preparen el argumento de 5.9 (criterio de completez – similar a 5.8, pero no hecho en el libro).
4. Los argumentos en torno a T_dis son responsabilidad de ustedes. No los veremos en clase, pero usted debe tener claro que debe poder aplicar argumentos similares para varias teorías distintas. Si tiene preguntas sobre 5.11, 5.12 y 5.13, con gusto daré claves. Pero en principio no vemos ese tema en clase.
5. El Teorema 5.14 sí es bien útil. De pronto pido que alguien lo exponga en clase. Ciertamente lo usaremos.
6. Empezaremos a ver modelos de ACF (teoría de cuerpos algebraicamente cerrados) también el jueves. Lea el álgebra necesaria para entender los argumentos de páginas 33 y 34, si no la ha visto en otro curso o no la recuerda. Haré un inicio del tema yo mismo, pero a partir de la semana próxima de clases (después del receso) usted tendrá que exponer trozos de este tema. Arrancaremos minimalidad fuerte pronto entonces.
7. Me gustaría que alguno de ustedes hiciera una breve exposición (esa sí preparada de antemano) del capítulo de Z-grupos. De pronto pueden hacer esa exposición cuidadosamente dos o tres de ustedes durante una hora de clase. Deberían hablar conmigo quienes estén interesados, y preparar con cuidado.
8. Y aterrizamos rápido en clausura algebraica modelo-teórica (capítulo 8 ). Esta generaliza la clausura algebraica de cuerpos (con la cual usted debería tener cierta familiaridad). La idea aquí es que un elemento  b  queda capturado en la clausura algebraica de un conjunto  A  (en un modelo  M ⊃A  si existe una fórmula  φ(x,y) , y existe una tupla  a  en  A  de la misma longitud de  y  tal que en  M  vale la fórmula  φ(b,a)  y   |φ(M,a)|<ω … es decir, la “φ-órbita” de   b  con parámetros  a  es finita en  M .

Javier Moreno habla sobre categorías de Tannaka

Mañana jueves 7 de septiembre Javier Moreno (U. Illinois – Urbana Champaign) hablará en el Seminario de Estudiantes de Postgrado sobre Categorías de Tannaka.

Título de la Charla: Categorías exprimidoras de grupos.
Lugar y Hora: Auditorio 202 – Ed. 405 – 4 pm
Resumen: ¿Hasta qué punto un grupo está determinado por su categoría de representaciones? Las categorías de Galois y de Tannaka nos brindan respuestas parciales a esta pregunta. En esta charla exploraremos brevemente sus definiciones y presentaremos algunas de sus propiedades más importantes.

Javier Moreno – Rodrigo Peláez

Javier Moreno (estudiante de doctorado de University of Illinois at Urbana-Champaign) y Rodrigo Peláez (estudiante de doctorado de la Universidad de Barcelona) darán dos minicursos la semana entrante. Los minicursos pueden ser vistos como parte del Seminario de Teoría de Modelos, y también como parte del curso Tópicos Avanzados de Lógica (que damos este semestre Alex Berenstein, Alf Onshuus y Andrés Villaveces).

Javier Moreno está en Bogotá gracias al programa “Jóvenes Investigadores” del Departamento de Matemáticas, dirigido a estudiantes que están finalizando sus doctorados o a postdocs con doctorado reciente. (Alex Usvyatsov, graduado en 2005 de la Universidad Hebrea de Jerusalén y actualmente postdoc en UCLA, vendrá con el mismo programa entre el 6 y el 15 de septiembre y dará un minicurso que será anunciado aquí.)
Rodrigo Peláez está en Bogotá gracias al apoyo parcial de las Universidades de los Andes y Nacional.
Los minicursos (de tres sesiones de una hora cada uno) tendrán lugar en la Universidad Nacional, en el siguiente horario:

1. Teoría de Modelos del Álgebra Diferencial. (Javier Moreno)
   • Lunes 4 de septiembre – 4 pm – Salón 202- Edificio 405.
   • Miércoles 6 de septiembre – 2 pm – Salón 310 – Edificio 405.
   • Viernes 8 de septiembre – 2 pm – Salón 310 – Edificio 405.
2. Teorías G-compactas de Lascar. (Rodrigo Peláez)
   • Lunes 4 de septiembre – 5 pm – Salón 202 – Edificio 405.
   • Miércoles 6 de septiembre – 3 pm – Salón 310 – Edificio 405.
   • Viernes 8 de septiembre – 3 pm – Salón 310 – Edificio 405.

Seminario de Filosofía de las Matemáticas

Este semestre, Fernando Zalamea está llevando a cabo un Seminario de Filosofía de las Matemáticas realmente excelente. En el blog SemFilMat hay mucha información útil (enlaces a sitios relevantes y a trabajos que usan en el seminario). MUY recomendado.

Temas de tarea, etc.

Hay varias tareas: por un lado, los ejercicios 1.16 (p. 7) y 1.27(a) (p. 9) para entregar hoy jueves. Adicionalmente, en los temas que siguen de aquí al parcial (el parcial es el jueves 7 de septiembre; es un parcial de 50 minutos en clase) esperaré que expongan ustedes mismos el siguiente material del libro:

2.11, 2.12, 3.10, 4.5, 4.7, 4.11, 4.12 y 4.15. Todo ese material lo veremos en las próximas dos semanas – llegaremos hasta la página 25 para el parcial. Parte del material será cubierta en clase (explicaciones mías o exposiciones) y parte debe ser cubierto por usted para el parcial.

Todo el mundo debe exponer varias veces durante el curso. No asigno exposiciones – ustedes mismos deben pasar como voluntarios. Al final de la primera mitad del semestre, parte de su nota de parcial (por lo menos el 30% de los parciales) incluirá la nota de exposiciones.

El curso

Esta vez el curso será dado por dos profesores: Andrés Villaveces (hasta el 10 de octubre) y Alexander Berenstein (desde el 12 de octubre). La razón es sencillamente que otro curso (Tópicos Avanzados de Lógica) será dado por esos mismos profesores, junto con un módulo por Alf Onshuus (UniAndes).

El libro a seguir son (principalmente) las notas de clase de Ward Henson.  De vez en cuando usaremos material adicional.

Otros libros útiles (sobre todo para ejercicios – el libro de clase tiene pocos ejercicios) incluyen

• Model Theory: An Introduction, de David Marker.
• Model Theory, de Chang y Keisler.
• A short Model Theory, de Wilfred Hodges.
• A course in Model Theory, de Rami Grossberg (notas en archivo pdf – hablar con Andrés Villaveces).

El curso tendrá cuatro exámenes (dos por A. Villaveces y dos por A. Berenstein). Los valores serán anunciados más adelante.